Goniometrische vergelijkingen

Sinus, cosinus en tangens wordt als basis gebruikt om een relatie te leggen tussen zijden en hoeken in (rechthoekige) driehoeken. Maar niet alleen in de meetkunde vinden deze drie goniometrische verhoudingen hun toepassing. Ook in andere delen van de wiskunde worden deze drie termen gebruikt. Zo kun je geluidsgolven en trillingen en cirkelbewegingen en andere harmonische bewegingen beschrijven met behulp van sinussen en cosinussen. Hierbij krijg je te maken met functies en vergelijkingen. De basis van dit alles ligt in de eenheidscirkel (uitlegvideo 1).

Goniometrische functies hebben als hoekeenheid niet de bekende graden. Men besefte pas enkele eeuwen terug dat het gebruik van graden problemen gaf bij het differentiëren van goniometrische functies. Vandaar dat de eenheidscirkel, goniometrische vergelijkingen en goniometrische functies gebruik maken van een andere hoekeenheid, namelijk de radiaal (uitlegvideo 2). Deze hoekeenheid zou je kunnen zien als een meer natuurlijke hoekeenheid welke geen problemen geeft bij het differentiëren.

Goniometrische vergelijkingen zijn in sommige gevallen exact op te lossen. Hieraan ligt ten grondslag een aantal punten op de eenheidscirkel waarbij zowel de x als y-coördinaat exact te noteren zijn. De eenheidscirkel met daarop alle punten met een exacte x en y-coördinaat wordt ook vaak de exacte-waarden-cirkel genoemd (uitlegvideo 3).

Voorkennis: goniometrie

Het exact oplossen van goniometrische vergelijkingen bouwen we in een aantal video’s op. Allereerst beginnen we met de vormen sin(A) = -1, sin(A) = 0 en sin(A) = 1 (uitlegvideo 4) en de vormen cos(A) = -1, cos(A) = 0 en cos(A) = 1 (uitlegvideo 5). Dit breiden we uit naar de vergelijkingen sin(A) = C en cos(A) = C waarbij C een exacte waarde is op de eenheidscirkel anders dan -1, 0 of 1 (uitlegvideo 6 en 7). Vanzelfsprekend geven we bij iedere video een aantal voorbeeldopgaven, waarbij we deze nieuwe kennis direct toepassen. In sommige situaties kun je ook te maken krijgen met goniometrische vergelijkingen van de vorm sin(A) = sin(B) of cos(A) = cos(B). Hoe je dit soort vergelijkingen op kunt lossen, zie je in uitlegvideo 8.

• Uitleg 1: De eenheidscirkel
• Uitleg 2: De hoekeenheid radiaal
• Uitleg 3: De exacte waarden cirkel
• Uitleg 4: sin(A) = -1, sin(A) = 0 en sin(A) = 1

• Uitleg 5: cos(A) = -1, cos(A) = 0 en cos(A) = 1
• Uitleg 6: sin(A) = exacte waarde
• Uitleg 7: cos(A) = exacte waarde
• Uitleg 8: sin(A) = sin(B) en cos(A) = cos(B) (Nog niet beschikbaar)